Seite 2 von 2 ErsteErste 12
Ergebnis 26 bis 40 von 40
  1. #26
    Die von Cap'n Kuda vorgestellte Berechnung - Basis-Kombinatorik und Grenzwertbildung - ist (oder war zumindest zu meiner Zeit) Abi-Wissen Mathe Grundkurs. Kein Hexenwerk. Selbstverständlich kaufen sich real-life auch Mathematiker ihre Figuren bei Ebay. Die meisten zumindest...

    Manch einer im Forum sollte sich nicht zu weit aus dem Fenster lehnen, um andere abzuwatschen, sonst fällt man mitunter hinaus.

    Gesendet von meinem SM-J510FN mit Tapatalk

  2. #27
    Hallo Indiana Goof,

    es gibt nicht nur die 4 von dir aufgezählten Fälle, sondern es geht darum, dass in dieser Situation ein Käufer immer wieder ein neues Päckchen kauft, bis er alle gewünschten Figuren hat. Die Zufallsvariable X gibt in diesem Fall die Anzahl der Päckchen wieder, die bis dahin gekauft wurden. Der Ausdruck
    m * ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... 1/k )
    ist der Erwartungswert von X, also die Menge an Päckchen, die man im Schnitt dafür kaufen muss und diese Formel ist korrekt.

    Konkret an deinem Beispiel (m=2 und k=1): Wenn eine Million Menschen so vorgehen (d.h. ein Päckchen nach dem anderen kaufen, bis sie ihre gewünschte Figuren haben), haben sie im Schnitt jeder 2 Päckchen kaufen müssen. Es können dabei aber natürlich (theoretisch) unendlich viele Kaufmuster entstehen, nämlich
    x
    ox
    oox
    ooox
    oooox
    usw.
    Der Schnitt wird aber über allen (!) Möglichkeiten gebildet (kann ja sein, dass einer erst im 1000. Päckchen seine Figur findet).
    Dein Fehler ist, dass du die Anzahl der Päckchen schon vorgibst (die Variable n). Die taucht aber in diesem Fall nicht auf.
    Zitat Zitat von Indiana Goof Beitrag anzeigen
    Man wird in der Realität diese Tüte zuerst öffnen und dann gar keine zweite Figur mehr kaufen.
    Genau das soll man in diesem Fall nämlich tun.

    Ich möchte aber noch deine Frage beantworten (und dann lass ich es auch mit Mathe, bevor ich hier gesperrt werde)
    Zitat Zitat von Indiana Goof Beitrag anzeigen
    Viel interessanter wäre die Frage, wie viele Tüten ich kaufen muss, damit ich mit einer Wahrscheinlichkeit von p% (z.B. 50%/75%) alle k von m Figuren habe, die mich interessieren. Aber das ist wie gesagt nicht trivial.
    Zumindest numerisch kann man das ganz gut berechnen. Dazu zwei Beispiele (für die Interessierten siehe die Herleitung und R-Code ganz am Ende)

    Beispiel 1: Ich will Micky, Minni und Dagobert (m=18, k=3). Wie viele Päckchen muss ich (blind!) kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit alle drei zu bekommen mindestens 75% beträgt? Antwort: 43 Päckchen

    Beispiel 2: gibt die Verteilung für "Ich will Micky, Minni und Dagobert und kaufe 7 Päckchen (m=18, k=3, n=7)" an (siehe Diagramm). Auf der y-Achse steht die Wahrscheinlickeit. Der Wert über der 1 (x-Achse) bedeutet bspw.: Mit (ca.) 50% bekommen ich genau eine der drei Figuren, wenn ich 7 Päckchen kaufe.


    Hier noch die allgemeine Herleitung und Vorgehen um die Anzahl n der Päckchen zu bestimmen:


    Bemerkung: Man kann die Bilder in der Herleitung leider nicht richtig erkennen... sorry. Aber die Herleitung kann man ja trotzdem nachvollziehen (wenn man will).
    Hier ist eine vergrößerte Version der Herleitung, bei der man auch die Bilder gut erkennt.
    Hier außerdem der R-Code, etwas kommentiert und kopierbar
    Code:
    Pkmn <- function(k,m,n){ # Pkmn ist die Verteilung von Y, d.h.
      v=NULL; e=min(k,n);    # in Pkmn stehen die Werte P(Y=r), r=0,1,2,...
      for (i in 1:((n+1)*n)) {
        v[i]=0
      }
      b=matrix(v,nrow = n)
      for (l in 1:e) { 
        c=1; for (a in 1:l) {c=c*a/m}; b[l,l+1]=choose(k,l)*c 
      }
      for (l in 1:n) { 
        b[l,1]=(1-k/m)^l 
      }
      for (i in 2:n) {
        for (j in 2:i) {b[i,j]=((k-j+2)/(m))*b[i-1,j-1]+((m-k+j-1)/(m))*b[i-1,j]}
      }
      return (b[n,]);
    }
    
    # WICHTIG: Indexverschiebung beachten; R zaehlt Vektoren bei 1
    # beginnend, es startet aber bei 0, d.h. P(Y=r)=V[r+1] (!!!)
    
    k0 = 5              # Anzahl interessanter Figuren
    m0 = 18             # Anzahl aller Figuren
    n0 = 10             # Anzahl gekaufter Packungen
    V = Pkmn(k0,m0,n0)  # Verteilung wird berechnet ...
    plot(V)             # ... und als Grafik ausgegeben
    V[k0+1]             # dieser Wert ist die Wahrscheinlichkeit,
                        # alle interessierenden Figuren zu erhalten
    
    E=k0-k0*((m0-1)/m0)^n0  # E: Erwartungswert mittels hergeleiteter Formel
    E
    
    ###############Test auf Korrektheit##################
    
    E0=0  # E0: Erwartungswert direkt an Verteilung Pkmn(k0,m0,n0)
    for (i in 1:(k0+1)) {
      E0 = E0 + (i-1)*V[i]
    }
    E0    # Es sollte E=E0 gelten (und ist auch der Fall)
    Nachträgliche Bemerkung:
    Im "Micky Maus Sticker Story (Panini)" Thread habe ich außerdem die folgende verwandte Frage geklärt:
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n gekauften Päckchen mindestens eine Figur mindestens r-mal vorkommt?
    (Unter der Randbedingung: Insgesamt gibt es m verschiedene Figuren (eine pro Päckchen) und jede ist gleichwahrscheinlich.)
    Geändert von Cap'n Kuda (10.06.2019 um 09:21 Uhr)

  3. #28
    Mitglied
    Registriert seit
    09.2009
    Beiträge
    521
    Wieviel Figuren sind in einer Packung? Erinnert mich an Panini Bildchen

  4. #29
    Bei den Minifigures ist eine Figur pro Packung. Bei Panini sind glaube ich mehrere Bilder pro Packung und ich glaube sogar garantiert keine doppelten pro Packung. Für große Packungsmengen passt das näherungsweise trotzdem noch ganz gut (in diesem Fall gilt n = (Anzahl Packungen) * (Bilder pro Packung)). Wer langeweile hat, kanns ja mal präzise für Packungen mit mehreren Bildern berechnen^^.

  5. #30
    Mitglied
    Registriert seit
    01.2019
    Ort
    Passau
    Beiträge
    135
    Zitat Zitat von Couper Beitrag anzeigen
    Wieviel Figuren sind in einer Packung? Erinnert mich an Panini Bildchen
    Eher an Kinderüberraschung. Das Konzept von Lego gibt es schon lange.

  6. #31
    Zitat Zitat von adamriese Beitrag anzeigen
    Die von Cap'n Kuda vorgestellte Berechnung - Basis-Kombinatorik und Grenzwertbildung - ist (oder war zumindest zu meiner Zeit) Abi-Wissen Mathe Grundkurs. Kein Hexenwerk. Selbstverständlich kaufen sich real-life auch Mathematiker ihre Figuren bei Ebay. Die meisten zumindest...
    Du kannst in meinem Beitrag das Wort "falsch" durch "irrelevant", "belanglos", "nichts sagend" etc. ersetzen, und schon stimmt alles.

    Warum die Formel irrelevant, belanglos, nichts sagend ist, habe ich ja schon erläutert, nämlich weil die Wahrscheinlichkeit nirgendwo berücksichtigt wird.

    Natürlich berechnet die Formel mathematisch korrekt einen Grenzwert - nur interessiert sich erstens niemand für diesen Grenzwert und zweitens entspricht der Wert (der "Schnitt") in der Realität niemals dem Grenzwert.

    Kommen wir nochmals zurück zu meinem Beispiel:

    Zitat Zitat von Indiana Goof Beitrag anzeigen
    a) XO
    b) XX
    c) OX
    d) OO
    Der links stehende Buchstabe steht für die Figur, die man zuerst kauft, der rechte Buchstabe für die Figur, die man als zweites kauft (oder eben nicht).
    Nehmen wir an, ich (A) und meine Freundinnen (B, C, D) interessieren und für die Figur X, nicht aber für die Figur O. Nehmen wir an, jede von uns kauft Tüten und bei jeder der vier Fälle tritt genau einmal ein. (Was extrem unwahrscheinlich ist. In der Realität ist es nämlich wahrscheinlicher, dass einer der Fälle mehrmals eintritt und ein anderer dafür nicht.)

    Ich (Fall a) kaufe mir also nur eine Tüte und habe meine gewünschte Figur. Dasselbe gilt für meine Freundin B (Fall b). Freundin C muss 2 Tüten kaufen, um die gewünschte Figur zu erhalten. Nur wenn Freundin D (Fall d) genau 4 Figuren kauft, beträgt der Schnitt tatsächlich 2. Doch es könnte genau so gut sein, dass Freundin D bereits bei der 3. Tüte die Figur X erwischt, und dann beträgt der Schnitt eben nicht 2, sondern 1.75. Und wenn Freundin D erst bei der 5. Tüte die Figur X erhält, beträgt der Schnitt 2.25.

    Im Idealfall muss jede von uns nur 1 Tüte kaufen, um die gewünschte Figur zu erhalten. Dann beträgt der Schnitt 1. In einem ganz schlechten Fall müssen wir alle 3 Tüten kaufen, dann beträgt der Schnitt 3. Der Schnitt kann also 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.25, 2.5, 2.75, 3, 3.25, ... betragen. Und es ist extrem unwahrscheinlich, dass der Schnitt genau 2 beträgt, auch wenn dies der Grenzwert ist.

    Die interessantere Frage wäre, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich beim Kauf von 2 Tüten meine gesuchte Figur bekomme. (Und die ist 75%, wie bereits erwähnt.) Oder eben wie viele Tüten ich kaufen muss, damit ich mit einer Wahrscheinlichkeit von p% (z.B. 50%/75%) alle k von m Figuren habe, die mich interessieren.

    Nochmals: Der Grenzwert bzw. der Schnitt ist uninteressant. Ihr wisst ja: Ein Bettler und ein Millionär haben im Schnitt eine halbe Million Euro. Nur interessiert das weder den Bettler, noch den Millionär.
    Es könnte auch eine Formel geben, welche das Resultat liefert, dass jeder Deutsche im Schnitt pro Woche 10 Cent in der Lotterie gewinnt. Aha. Oder dass jeder Lottomillionär im Schnitt 500 Mal Lotto gespielt hat, bevor er gewonnen hat. Na toll. Alles Aussagen, die niemandem etwas bringen.

    Interessantere Fragen wären, wie oft ich Lotto spielen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% oder mehr den Hauptgewinn zu gewinnen. (Gewinnt man einen Gewinn?) Oder wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ich bei 1000 Mal Lottspielen den Hauptgewinn gewinne. Aber dies sind wiederum keine trivialen Berechnungen.
    Geändert von Indiana Goof (10.06.2019 um 21:55 Uhr)
    Indiana Goof aka Maja Müller

  7. #32
    Zitat Zitat von Indiana Goof Beitrag anzeigen
    Warum die Formel irrelevant, belanglos, nichts sagend ist [...]
    Mal ganz ehrlich, hast du irgendwelche Probleme? Was regst du dich denn hier so über eine Zahl bzw Formel auf? Kann die was dafür, dass DU nichts mit ihr anfangen kannst? Ich denke nicht. Mittelwert und Erwartungswert haben ihre Berechtigung und ihren Nutzen. Wenn du die nicht kennst, lies sie halt nach.
    Nochmals: Der Grenzwert bzw. der Schnitt ist uninteressant. Ihr wisst ja: Ein Bettler und ein Millionär haben im Schnitt eine halbe Million Euro. Nur interessiert das weder den Bettler, noch den Millionär.
    Es könnte auch eine Formel geben, welche das Resultat liefert, dass jeder Deutsche im Schnitt pro Woche 10 Cent in der Lotterie gewinnt. Aha. Oder dass jeder Lottomillionär im Schnitt 500 Mal Lotto gespielt hat, bevor er gewonnen hat. Na toll. Alles Aussagen, die niemandem etwas bringen.
    Aha, weil du solche blödsinnigen Beispiele erstellst, soll der Mittelwert als Kennzahl einer Datenreihe uninteressant sein? Mach dich doch nicht lächerlich. Nur weil du keine anderen Anwendungen kennst, bedeutet das nicht, dass es keine gibt (ich werde nicht anfangen welche aufzuzählen -> es gibt viele Bücher zu dem Thema).

    Aber um dein uninteressantes Beispiel mit den zwei Figuren etwas mit Leben zu füllen, hier mal 5 R-Simulationen mit jeweils k=10 Personen, die solange kaufen, bis sie ihre Figur haben.
    2 2 2 1 2 2 1 1 4 2 -> 1.9
    1 1 1 1 5 1 6 1 1 2 -> 2
    2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 -> 1.2
    1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 -> 1.4
    1 1 2 2 2 2 1 6 1 1 -> 1.9
    So sehen Messreihen aus. Und wenn du eine mit 2000 Personen sehen willst, klickste hier. Das es Extremwerte nach oben gibt ist ja klar. Und das Information verloren geht auch. Aber es geht nicht alles verloren.
    Und es ist extrem unwahrscheinlich, dass der Schnitt genau 2 beträgt, auch wenn dies der Grenzwert ist.
    Hä? Na und!?! Das hat überhaupt nichts mit dem Erwartungswert zu tun! Es geht nicht darum, wie wahrscheinliche es ist, dass der Schnitt einer endlichen Datenreihe, die die unabhängige Realisierung einer Zufallsvariablen X darstellt, gleich dem Erwartungswert der Zufallsvariable ist! Das ist eine sehr spezielle und gekünstelte Frage und diese Wahrscheinlicheit ist praktisch immer sehr gering und bei vielen Verteilungen sogar = 0 (insbesondere bei solchen, die durch eine stetige Dichte beschrieben werden). Interessanter ist es, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man vom Erwartungswert mehr als eine vorgegebene Differenz abweicht (und dafür braucht man aber offensichtlich den Erwartungswert). Diese Wahrscheinlichkeit kann man übrigens bereits nur mit Erwartungswert und Varianz abschätzen
    => Tschebyscheff-Ungleichung: P(|X-μ|<r) ≥ σ^2/r^2. Beispiel 18 Figuren, 10 will ich haben (m=18, k=10).
    Erwartungswert μ = 18 * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/10) ≈ 52.72
    Varianz σ^2 ≈ 9.38 (die Varianz dieser Summe von geometrisch verteilten Zufallsvariablen zu bestimmen ist nicht viel schwerer als den Erwartungswert zu bestimmen)
    Nun gilt |X-μ|<r <=> μ-r<X<μ+r also folgt P(46.72 < X < 58.72) ≥ 1 - 9.38/36 ≈ 75%. D.h. mit mindestens 75% Wahrscheinlichkeit braucht man zwischen 47 und 58 Packungen um alle 10 Figuren zu bekommen. Da hast du also wieder deine Wahrscheinlichkeiten und man braucht dafür nichts weiter als Erwartungswert und Varianz. Soviel dazu, dass dieser Wert irrelevant sein soll.

    Es gibt viele Kennzahlen einer Verteilung (wie z.B. auch die Varianz). Und je nach Kontext reichen bereits einige dieser Zahlen aus, um gewisse Eigenschaften einer Verteilung zu beschreiben oder hervorzuheben, also in diesem Fall z.B., dass man davon ausgehen muss, viele Packungen zu kaufen, wenn man alle einen interessierenden Figuren bekommen will - nur eben ein bisschen besser in Zahlen ausgedrückt.
    Die interessantere Frage wäre, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich beim Kauf von 2 Tüten meine gesuchte Figur bekomme.
    Haste selbst geschafft zu beantworten. Glückwunsch.
    Oder eben wie viele Tüten ich kaufen muss, damit ich mit einer Wahrscheinlichkeit von p% (z.B. 50%/75%) alle k von m Figuren habe, die mich interessieren.
    Habe ich dir bereits weiter oben beantwortet.
    Interessantere Fragen wären, wie oft ich Lotto spielen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% oder mehr den Hauptgewinn zu gewinnen.
    Sei q = 0.5 und p die Wahrscheinlichkeit auf den Hauptgewinn, also p = 1 / (49 über 6) = 1/13983816 ≈ 0.000007151.
    Mit n = "Anzahl der Lottospiele" und X = "Anzahl der Hauptgewinne" gilt dann P(X≥1)≥q bzw. 1-P(X<1) ≥ q, also 1-P(X=0) ≥ q, also 1-(1-p)^n ≥ q, also n ≥ log(1-q) / log(1-p) = 9692842.209.
    Oder wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ich bei 1000 Mal Lottspielen den Hauptgewinn gewinne.
    n=1000, P(X≥1) = 1-P(X<1) = 1-P(X=0) = 1 - (1-p)^n = 0.0000715
    Aber dies sind wiederum keine trivialen Berechnungen.
    Doch... 'nuff said
    Geändert von Cap'n Kuda (11.06.2019 um 13:18 Uhr)

  8. #33
    Mitglied Avatar von TheDuck
    Registriert seit
    01.2009
    Beiträge
    2.276
    Zitat Zitat von Indiana Goof Beitrag anzeigen
    Deswegen habe ich ja gesagt, dass ich die Aussage von TheDuck nicht glaube.
    Bitte: https://shop.lego.com/de-DE/product/...Series-2-66604

    In einem Display sind zwei Komplettsätze enhalten plus mehrere Figuren die 3x und 4x enthalten sind.

    Im Gegensatz zu z.B. den Panini Stickern bekommt man auf diese Weise alle Figuren auf einmal (während dort im Display immer noch Sticker fehlen).
    Auch beim Kauf von z.B. Display-Sets von WizKids fehlen immer ein paar Figuren.

    Insofern ne teure Anschaffung, aber Lego bietet auf diese Weise die Möglichkeit an alle Figuren zu 100 % beim Einkauf zu erhalten (plus ein zweites Set zum verschenken/verkaufen etc...).

    Im Vergleich zu den anderen Anbietern auf dem Markt (Panini Sammelalben, Wizkids Sammelfiguren) eine Seltenheit.

    Lg
    TheDuck

  9. #34
    Zitat Zitat von Cap'n Kuda Beitrag anzeigen
    So sehen Messreihen aus. Und wenn du eine mit 2000 Personen sehen willst, klickste hier. Das es Extremwerte nach oben gibt ist ja klar. Und das Information verloren geht auch. Aber es geht nicht alles verloren.
    Wie gesagt, belanglos, uninteressant, irrelevant, realitätsfremd. Deine Formel mag für andere Fälle interessant sein (ich will ja deinen zitierten "Büchern" nicht die Existenzberechtigung absprechen), aber für diesen Fall hier nicht.

    Wieso sollen sich von 2000 Personen alle exakt für k aus m Figuren interessieren? Eben, merkste selber. Das ist vollkommener Humbug. Schon mein Beispiel mit 4 Personen war an den Haaren herbeigezogen, aber bei 2000 Personen wird's vollends absurd.

    Wenn mich 5 von 20 Figuren interessieren und ich erst bei der 60. Tüte meine 5 Figuren komplett habe, interessiert es mich ehrlich gesagt nicht im Geringsten, dass ich "im Schnitt" eigentlich nur 45,67 statt 60 Tüten hätte kaufen müssen.
    Indiana Goof aka Maja Müller

  10. #35
    Wie bereits von meinen Vorrednern gesagt, ist ein Display keine Komplettserie, auch wenn dort jede Figur mindestens einmal vorkommt, sondern ein Display.
    Indiana Goof aka Maja Müller

  11. #36
    Zitat Zitat von Indiana Goof Beitrag anzeigen
    Wie gesagt, belanglos, uninteressant, irrelevant, realitätsfremd. Deine Formel mag für andere Fälle interessant sein (ich will ja deinen zitierten "Büchern" nicht die Existenzberechtigung absprechen), aber für diesen Fall hier nicht.
    Ich habe keine Bücher zitiert, ich habe lediglich geschrieben (und gemeint), dass wenn du keine Ahnung von Mittelwert und Erwartungswert hast, insbesondere auch nicht weißt wofür diese angewendet werden, dies daher bitte erstmal in der Literatur nachlesen solltest (jedes x-beliebige Lehrbuch über Stochastik sollte genügen).
    Wieso sollen sich von 2000 Personen alle exakt für k aus m Figuren interessieren? Eben, merkste selber. Das ist vollkommener Humbug. Schon mein Beispiel mit 4 Personen war an den Haaren herbeigezogen, aber bei 2000 Personen wird's vollends absurd.
    Nicht von 2000 (zufällig gewählten) Personen interessieren sich alle für k aus m Figuren, sondern es interessieren sich N Personen überhaupt für diese Lego-Figuren (also in der Realität vielleicht weltweit N=1000000, keine Ahnung aber in jedem Fall sicher viele), von diesen interessieren sich dann N_1 für genau 1, N_2 für genau 2 usw bis N_18 für genau 18 Figuren (also alle) und es gilt N_1 + ... + N_18 = N. Da können doch locker 2000 für jedes dieser N_k zusammenkommen. Und diese 2000 hatte ich exemplarisch simuliert (allerdings bei m=2 Figuren insgesamt). Und das war auch genauso zu verstehen. Du bringst in deinen Beiträgen Beispiele, die nicht unter Modellannahmen zustande kommen, sondern von dir explizit so konstruiert werden um deine Thesen zu untermauern (konkret meine ich hier deine Konstruktion mit den Figuren X,O und deinen "Freundinnen"). Und anschließend ziehst du meine dazugehörige Aussage aus dem Kontext und diskreditierst sie in einem anderen (falschen) Kontext. Hör damit bitte auf.
    Zitat Zitat von Indiana Goof Beitrag anzeigen
    Wenn mich 5 von 20 Figuren interessieren und ich erst bei der 60. Tüte meine 5 Figuren komplett habe, interessiert es mich ehrlich gesagt nicht im Geringsten, dass ich "im Schnitt" eigentlich nur 45,67 statt 60 Tüten hätte kaufen müssen.
    Ich hatte mir die Mühe gemacht und dir ein Rechenbeispiel für eine Anwendung des Erwartungswertes m*(1 + 1/2 + ... + 1/k) gegeben, bei dem die für dich so wichtigen Wahrscheinlichkeiten eine Rolle spielen (hast ja ständig fett gedruckt). Aber auch das hast du einfach ignoriert.
    Zitat Zitat von Cap'n Kuda Beitrag anzeigen
    => Tschebyscheff-Ungleichung: P(|X-μ|<r) ≥ σ^2/r^2. Beispiel 18 Figuren, 10 will ich haben (m=18, k=10).
    Erwartungswert μ = 18 * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/10) ≈ 52.72
    Varianz σ^2 ≈ 9.38 (die Varianz dieser Summe von geometrisch verteilten Zufallsvariablen zu bestimmen ist nicht viel schwerer als den Erwartungswert zu bestimmen)
    Nun gilt |X-μ|<r <=> μ-r<X<μ+r also folgt P(46.72 < X < 58.72) ≥ 1 - 9.38/36 ≈ 75%. D.h. mit mindestens 75% Wahrscheinlichkeit braucht man zwischen 47 und 58 Packungen um alle 10 Figuren zu bekommen.
    Aber ok, selbst wenn dich dieser Erwartungswert nun trotzdem überhaupt nicht interessiert, so wäre er in diesem idealisierten Modell für den Lego-Konzern interessant. Denn dieser könnte nun abschätzen (und das recht genau), wie viel Kohle er damit macht. Und wenn man sich die Mühe machen würde, könnte man dieses Modell auch verfeinern, und z.B. Effekte wie das Tauschen von Figuren miteinbeziehen (aber darum ging es hier nicht). Also hör jetzt bitte endlich auf stoisch zu behaupten die Erwartungswerte sind "belanglos, uninteressant, irrelevant, realitätsfremd" oder setze bitte in Zukunft die Wörter "für mich" davor.

    Übrigens braucht man im Schnitt
    18 * (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 + 1/18) ≈ 63
    Päckchen, bei einem zufälligen Kauf, um alle 18 Figuren zu erhalten. Der Aufsteller enthält insgesamt 60 Figuren. Bei einer zufälligen Auswahl bekäme man im Schnitt jede Figur 60/18 = 3.333... mal (ist offensichtlich binomialverteilt) und hat im Schnitt insgesamt 18 - 18 * (17/18)^60 ≈ 17.41 viele verschiedene Figuren (die exakte Verteilung der Anzahl der verschiedenen Figuren sieht so aus).
    Da scheint sich Lego bei der Zusammenstellung seiner Displays grundsätzlich aber recht genau an die theoretischen Erwartungswerte zu halten. Zumindest belegen das die Kommentare im Netz, hinsichtlich der Verteilung innerhalb der Displays.

    Und sofern du in Zukunft keine relevanten Dinge zu dieser Diskussion beisteuerst, war das definitiv die letzte Antwort, die ich dir in Bezug auf dieses Thema geben werde.

  12. #37
    Zitat Zitat von Cap'n Kuda Beitrag anzeigen
    Aber ok, selbst wenn dich dieser Erwartungswert nun trotzdem überhaupt nicht interessiert, so wäre er in diesem idealisierten Modell für den Lego-Konzern interessant. Denn dieser könnte nun abschätzen (und das recht genau), wie viel Kohle er damit macht.
    Für den LEGO-Konzern ist die Formel ebenfalls uninteressant, weil der LEGO-Konzern k nicht kennt. Dass deine Formel schon bei 2000 Personen nicht anwendbar ist, hast du ja mittlerweile eingesehen, denn k ist ja nicht für alle 2000 Personen gleich. k ist auch für alle LEGO-Käufer unterschiedlich und es gibt im Voraus keine Erhebungen, wie groß k bei der Mehrheit der Leute ist, weshalb der LEGO-Konzern ganz bestimmt nicht mit k rechnet.

    LEGO interessiert sich allenfalls dafür, wie viele Tüten „im Schnitt“ gekauft werden müssen, um eine Serie komplett zu haben, aber dafür braucht es die Variable k nicht.
    Indiana Goof aka Maja Müller

  13. #38
    Ich habe in meinem oberen Beitrag
    Zitat Zitat von Cap'n Kuda Beitrag anzeigen
    => Tschebyscheff-Ungleichung: P(|X-μ|<r) ≥ σ^2/r^2. Beispiel 18 Figuren, 10 will ich haben (m=18, k=10).
    Erwartungswert μ = 18 * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/10) ≈ 52.72
    Varianz σ^2 ≈ 9.38 (die Varianz dieser Summe von geometrisch verteilten Zufallsvariablen zu bestimmen ist nicht viel schwerer als den Erwartungswert zu bestimmen)
    Nun gilt |X-μ|<r <=> μ-r<X<μ+r also folgt P(46.72 < X < 58.72) ≥ 1 - 9.38/36 ≈ 75%. D.h. mit mindestens 75% Wahrscheinlichkeit braucht man zwischen 47 und 58 Packungen um alle 10 Figuren zu bekommen.
    leider einen kleinen Rechenfehler bei der Berechnung der Varianz gemacht. Korrekt lautet das Ergebnis
    σ^2 = 18*(17/1^2 + 16/2^2 + 15/3^2 + 14/4^2 + 13/5^2 + 12/6^2 + 11/7^2 + 10/8^2 + 9/9^2 + 8/10^2) ≈ 450
    (keine Ahnung wie ich ursprünglich auf 9.38 gekommen bin)

    Durch diesen großen Wert macht eine Anwendung der Tschebyscheff-Ungleichung in diesem Fall leider keinen Sinn mehr. :/ Die hergeleiteten Formeln sind trotzdem alle korrekt. Also nochmal: Lediglich diese eine Beispiel verliert damit seine Gültigkeit...

    Nichtsdestotrotz habe ich die Gelegenheit genutzt, all die von mir hergeleiteten und in verschiedenen Beiträgen verstreut herumliegenden Ergebnisse, über Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte usw., zusammen in einem Dokument zu veröffentlichen. Alle die es interessiert, können das Gesamtdokument als pdf downloaden (natürlich ohne irgendwelche unerwünschten "Geschenke" oder Kosten). Neben den bisher hier im Forum veröffentlichten Ergebnissen (inklusive dem R-Code) finden sich dort weitergehende Berechnungen zu den Varianzen auftretender Zufallsvariablen und eine Antwort auf die allgemeinere Frage: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n gekauften Tüten mindestens s verschiedene Figuren jeweils mindestens r-mal zu bekommen?"

    Das pdf Dokument kann über den folgenden Link heruntergeladen werden.
    Downloadlink

    Folgende Themen werden im Dokument behandelt:
    1. Durchschnittliche Anzahl an Päckchen, die ich kaufen muss, um alle mich interessierende Motive zu erhalten (und Varianz der Zufallsvariable).
    2. Durchschnittliche Anzahl an verschiedenen mich interessieren Motiven, bei n gekauften Päckchen (und Varianz der Zufallsvariable).
    3. Wie viele Tüten muss ich kaufen, damit ich mit einer Wahrscheinlichkeit von p (z.B. p = 0,5 oder p = 0,75) alle Motive bekomme, die mich interessieren?
    4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n gekauften Tüten mindestens ein Motiv mindestens r-mal zu bekommen?
    5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n gekauften Tüten mindestens s verschiedene Motive jeweils mindestens r-mal zu bekommen?
    6. Wie viele Tüten muss ich kaufen, damit ich mit einer Wahrscheinlichkeit von p alle Objekttypen bekomme, die mich interessieren, wenn in jeder Tüte genau s verschiedene Objekttypen stecken (eine Verallgemeinerung von 2 und 3)?

    Wer Bock auf ein bisschen Stochastik hat, ist herzlich eingeladen.
    Viel Spaß damit und Liebe Grüße
    Cap'n Kuda
    Geändert von Cap'n Kuda (03.07.2019 um 22:38 Uhr)

  14. #39
    Danke. Unabhängig von den Lego-Figuren ist das Thema nämlich interessant.
    Indiana Goof aka Maja Müller

  15. #40
    Gern geschehen und freut mich.
    Habs eben nochmal kurz überarbeitet (paar Tippfehler beseitigt und leicht ergänzt).

Seite 2 von 2 ErsteErste 12

Berechtigungen

  • Neue Themen erstellen: Nein
  • Themen beantworten: Nein
  • Anhänge hochladen: Nein
  • Beiträge bearbeiten: Nein
  •